Zamanda geriye doğru yolculuk yapmanın en kısa yolu tarih okumaktır

 

 

Mezopotamyalılar’da geometri

“Thureau-Dangin, Taha Baqir, Bruins, Van der Waerden gibi, zamanımızın bazı yazarları Mezopotamya ilmini olağanüstü önemde saymaktadır. Oysa Eskiçağ yazarlarından Ödemos’a dayanan Ortaçağ yazarı Proklos, Thales’in, bilgilerini, Mısır’dan aldığına inanmış ve matematik tarihini Thales ile başlatmıştır. Neugebauer de Thales’i ve Sokrates öncesi matematikçileri atlayıp, ilmî  geometriyi Ödoksos ve Theaetetos ile başlatmıştır. Plutarkhos, Vitruvius ve yine Proklos ise Pithagoras teoremini ve ‘alan tatbiki’ metodunu Pithagoras’ın kendi şahsî keşfi sanmışlardır.

Proklos, Pithagorasçılar’ın düzgün çok yüzlüler hakkındaki bilgilerini de Pithagoras’a atfetmişlerdir. Öklid onların küb, tetrahedron ve dodekahedron’u bildiklerini söylemiştir. Zamanımızın Neugebauer gibi bazı yazarları ise eski Yunanlılar’ın Mısır ve Mezopotamya’dan sağlamış oldukları yararların teorik yönden önemli olduğunu pek kabul etmek istememektedirler.

-Oysa Thales, Pithagoras, Demokritos ve Ödoksos gibi Eskiçağ bilginlerinin kendi bilgilerini Mısır ve Mezopotamya’ya yapmış oldukları gezileri sırasında edindikleri söylenmektedir. Esasen, eski Yunanlılar’dan, onların ileri komşu kültürlerden yararlanmak istemeyen bir dar görüş sahibi  olmuş olmaları beklenemez.-

Zamanımızın bazı diğer yazarları da, daha özel olarak, Thales’e atfolunan geometri bilgilerinin tamamen abartılı olduğunu ileri sürmektedirler. –Aslında, eski Yunan matematiği hakkında bilgi veren Ödemos’un, Thales hakkında söylemiş olduğu şeyler hiç de yüzeysel değildir. Thales’in bilgileri ‘İsbatlı geometri’ mahiyetini henüz kazanamamış olsa bile, Mezopotamya geometrisi, rasyonel ve mantıki bir bilgidir.-

Matematik konusunda yazılmış Mezopotamya tabletlerindeki metinler ‘tesis edilmiş’ ve ‘yayınlanmış’ olmakta, şimdi sıra, artık onların ‘yorumlanmalarına’ gelmiş bulunmaktadır. Bu yorum, onların, bilimin yığılganlık ve ilerleme vasıfları doğrultusunda, tarih içerisine yerleştirilmeleri suretiyle, değerlendirilmelerinden ibarettir.

Thales’e atfolunan bilgiler, aslında, Mezopotamya geometrisine dayanmaktadır.  O bilgiler şunlardır:

1. Thales Teoremi: a. Benzer dik üçgenlerde (veya iki üçgenin açıları eşitse) kenar uzunlukları oranları eşittir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 4) b.Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından hipotenüse indirilen  dikmenin iki tarafında kalan iki üçgen birbirine ve asıl üçgene benzer üçgenlerdir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 8).

2. Çapı gören çevre açısı bir dik açıdır. Çap, çemberi iki eşit kısma böler.

3. Bir ikizkenar üçgende, taban açılarının eğimleri eşittir.

4. Thales, tıpkı Mezopotamya’da olduğu gibi, açı yerine, ancak dik açıya dayanarak, eğimleri göz önünde bulundurmuştur; ve, ‘eşit açılar’a ‘benzer açılar’ adını vermiştir; dairede ise çapı gören dik açıyı söz konusu etmiştir; ikizkenar üçgende ‘taban açılarının eşitliği’ yerine ‘taban açılarının eğimlerinin eşitliğini düşünmüştür.  Ters açıların eşit olduğunu fark etmiştir.

5. Birer kenarı ile ikişer açıları eşit olan üçgenler eşittir.

Tıpkı Thales’te olduğu gibi, Pithagorasçılar da Mezopotamya matematiğinden etkilenmişlerdir; bu etkiler şu noktalar etrafında toplanabilir:

1. Pithagoras Teoremi: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamları, hipotenüsün karesine eşittir: a2=b2+c2

2. Beş köşeli düzgün yıldız çizimi: Mezopotamyalılar, bu çizimde x2=a2-ax denkleminin çözümüne dayanmışlardır. Pithagorasçılar bu denklemi ‘Bölme ve ekleme metoduna benzeyen ‘Alan tatbiki metodu’ ile çözmüşlerdir. Bu metot, Pithagorasçılar’ın ‘geometrik cebir’lerinin ana metodudur. Bu metodu Mezopotamyalılar kullanmışlardır.  Onun için Mezopotamyalılar’ın cebiri Pithagorasçılar’ın geometrisini ta kökten etkilemiştir ve onun kökünde yer almıştır.

3. Öklid’in Geometrinin Unsurları’nın 2.kitabında geometrik cebir verilmiştir. Öklid, Unsurlar’ın 1., 2., 3. ve 4. kitaplarında ‘geometrik cebir’ ile ‘alan tatbiki metodu’nu uygulamıştır. Bu geometrik cebir, aslında, Pithagorasçılar üzerinde Mezopotamya’ya geri gider. Bu geometrik cebir, daha sonra, ileride, Apollonios’un ‘Koni Kesitleri’nde kullanılacak olan geometrik cebirinin ta kendisidir.

4. Öklid’in Geometrinin Unsurları’nın 2. Kitabı’ndaki 5., 6., 9., 10. ve VI. Kitabı’ndaki 4., 8., 28. ve 29. ‘proposition’=’problem’=‘teorem’leri Mezopotamyalılarinkilerle aynıdır. Ancak, Mezopotamyalılar’ın cebir problemleri Eski Yunanlılar’da, Pithagorasçılar tarafından geometri problemlerine dönüştürülmüştür. Bu, dönüştürmede, ‘irrasyonel sayı’lar rol oynamıştır.

‘Geometrik’ nicelik’in, ‘sayı’sal nicelik’i de içine alan bir genişlikte olması bakımından, cebir, geometrik olarak ifade edilmiştir. ‘Alan tatbiki metodu’, ‘parabol’ (belli bir alanın bir doğru parçası üzerine tam olarak tatbik edilmesi işlemi), ‘ellips’ (belli bir alanın belli bir doğru parçası üzerine noksanı ile tatbik edilmesi işlemi) ve ‘hiperbol’, (belli bir alanın belli bir doğru parçası üzerine fazlası ile tatbik edilmesi işlemi) alan tatbikleri olarak uygulanmıştır.

Bu alan tatbiklerinin cebirsel ifadeleri bx-x2=c (Mezopotamyalılar’da, bu, x2+c=bx’dir) ve bx+x2=c (Mezopotamyalılar’da, bu, x2+bx=c’dir) (veya, x+y=b ve xy=c ile x-y=b ve xy=c’dir) denklemleriyle ifade edilir. Eski Yunan geometrisindeki bu alan tatbiki metodu daha da güncelleştirilmiştir. Bir dikdörtgene eşit kare bulmak da, yani, x2=ab de, yine Mezopotamya’dan gelmektedir. Bu demektir ki, eski Yunan’daki geometrik cebir, Mezopotamya’daki cebir temeli üzerine kurulmuştur; ve, Mezopotamya cebirsel geometrisinden etkiler almıştır. Pithagorasçılar’ın geometrik cebirine ‘geometrik aritmetik’, ‘cebirsel geometri’, ‘hesaplama geometrisi’, ‘doğru parçalarının ve alanların hesaplanması’ denir.

Bu sonuncu ad, Mezopotamya geometrisini daha iyi bir şekilde hatıra getirmektedir. Geometrik cebir ve alan tatbiki metodunda oran, orantı ve benzerlik kavramları da işe karışmış bulunmaktadır. Çünkü alanlar birbirleriyle kıyaslanmıştır. Mezopotamya’da oran kavramı, alan oranı Bal olarak mevcuttur. Ayrıca, Mezopotamyalılar bir dairedeki çap ile çevre arasındaki oranı, yani π (pi) sayısını bilmekte idiler; ve şehir krokisi çizmekteydiler. Bu da mikyas kavramına dayanmayı içerir. Bütün bunlar Mezopotamyalılar’ın, isterse onlar bir oranlar teorisine sahip olmasınlar, sadece alan eşitlikleriyle alan toplam ve farklarıyla yetinmemiş olduklarını gösterir. Öklid’in 1., 2., 3. ve 4. kitapları ile Mezopotamya arasında alan tatbiki metodu bakımından bir paralellik vardır.

5.Proklos, Pithagorascılar’ın düzgün çok yüzlüler hakkındaki bilgilerini Pithagoras’ın kendisine atfetmektedir. Öklid de onların küb, tetrahedron’u bildiklerini söylemiştir. Oysa, Mezopotamyalılar düzgün çok yüzlüleri bilmekteydiler. Durum tıpkı alan tatbiki metoduna benzemektedir.

Pithagorasçılar’da geometrik cebir başlamışsa, bu, Mezopotamya’dan gelmektedir. Pithagorasçılar’ın geometrik cebiri Mezopotamya cebirine dayanır. Mezopotamya’daki Napkharu (yaklaşık olmayan tam değer) zihniyeti temele konursa, Mezopotamya’nın cebirsel geometrisinden, Pithagorasçılar’ın geometrik cebirine geçmek kolaylaşır. Öyle anlaşılıyor ki, Pithagorasçılar Mezopotamya’nın cebirini ve cebirsel geometrisini olduğu gibi aldılar; ama, geometriye ağırlık verdiler; ‘irrasyonel’leri keşfedince de bu geometrik cebirden oran ve orantıyı tasfiye ettiler; ve onu, Öklid’in Unsurlar’ından 1., 2., 3. ve 4. kitaplarda verilen şekliyle, alan tatbiki metoduna dayanan bir geometrik cebir haline getirdiler.

Mezopotamyalılar’ın geometri bilgileri, yukarıdakilere ek olarak, şu noktalar etrafında toplanabilir –Bu bilgilerin bir kısmı açık açık ortadadır; bir kısmı ise içerme yoluyla ortaya konulmuştur-:

1. Kirişin çevreye uzaklığını veren doğru parçasının uzantısı çemberin merkezinden geçer.

2. Bu doğru parçası kirişe diktir ve kirişi ortalar.

3. Çapı gören çevre açısı diktir (Thales’ten çok önce).

4. Aynı doğruya ayrı ayrı dik olan iki doğru aralarında paraleldir.

5. Dik üçgenler için ‘Thales Teoremi’ münasebeti:Benzer üçgenlerde kenarlar arasında orantı bulunmaktadır. Ama Thales’te de, açı ve orantı geri plandadır. Eski Yunan ile Mezopotamya’nın zihniyetleri bu bakımlardan benzerlik göstermektedir; ‘açı’, ‘orantı’, ‘benzer’, geri plandadır, ama, dikkenar, paralel kesenler, alan orantıları ön plandadır.

6. Pithagoras teoremi=iki dik kenar karesi=Hipotenüsün karesi.

7. Öklid’in 5.postülası (Bir düzlem içerisindeki bir doğruya o doğrunun dışındaki bir noktadan bir, ancak bir tek paralel doğru çizilebilir). ‘Açı’, ‘paralel’ ve ‘benzer’i işe karıştırmadan Pithagoras teoremine dayanan bir çeşit analitik geometri ve cebirsel geometri ile Öklid teoremleri elde edilebilir. Etki Öklid’e Pithagorascılardan onlara da Mezopotamya’dan gelir. Hipparkos trigonometrisinde, Mezopotamya’dan gelen etkiler de vardır.

8. Açıların oranları dik açılar aracılığıyla ele alınmıştır. Açı geometrisi veya açılar üzerine ve daire üzerine yapılmış bir teori mevcut değildir; geometrileri açısız=dik açıyı dikkate alan, bir geometridir. Ama düzgün çokgenlerde açıyı ve çember merkezini biliyorlar. Çemberi 360 dereceye onlar ayırmıştır. Açı, M.Ö. 5’te astronomi yoluyla girmiştir. Mezopotamya’yı izleyen Öklid, düzgün çokgenlerle çok ilgilidir. Trigonometrinin kökü Mezopotamya’ya Öklid üzerinden geri gider ve Hipparkos’u etkiler. Mezopotamya’da bu yoktur’ hükmü, artık yumuşatılmalıdır.

9. Şekiller düşey bir düzlemde olarak tasarlanmıştır. Bugünkü durumu da öyledir. ‘Taban’, ‘yükseklik’, ‘tepe noktası’ terimleri bunu kanıtlamaktadır. Mezopotamya geometrisinin gündelik işleri aşamamış, bir ‘teoria’ya ulaşamamış, Mezopotamyalılar’ın ise bir geometri ilmi kuramamış olduğu söylenir; veya, genel münasebetleri dahiyane bir sezişle kavradıkları düşünülür.

Gerçekten, Mezopotamya geometrisinde tek tek problem çözümleri vardır. Ama bu çözümler çok nettir; açık ifadelerle, kısaca verilmektedir; ve, önermeden önermeye hiç atlama yapmadan, adım adım geçilmektedir, bir önerme bir diğeri için ‘ön dayanak’ olmaktadır.

Eğer ‘ispat’ bir önermeyi temeldeki ön dayanaklara indirgemek ise, bu ön dayanağın, ille, bir ‘axiom’, ‘postüla’ ve ‘tanım’ birliği olması ve önermelerin onlardan çıkarılması gerekmez.

Bu başka bir önerme ile de olabilir; bir başka önerme de temel alınabilir. Bu hal sistemli ve sistematik olmayı engellemez. Mezopotamyalı  ispatı biliyor ki problem çözüyor! Mezopotamya’da ispat = problem çözmedir. Eğer, sadece, temelinde ‘axiom’, ‘postüla’ ve ‘tanım’ bulunan bir sisteme geometri denecekse, bu, Pithagoras’ı, Kioslu Hippakrates’i, Ellisli Hippias’ı, Aristarkos’u geometrinin dışında bırakmak anlamına gelir. İlk evrelerde eski Yunan’ın durumu Mezopotamya’nın özellikle özellikle başlangıçlardaki durumundan farklı değildi. Mezopotamyalılar’da metot ve metotlu olmak bilincine işaret eden, önermeden önermeye atlama ve sıçrama yapmadan, çözüm adımlarıyla geçişi gösteren bir kavram da bulunmaktadır: Kibsu. Belgelerden öyle anlaşılmaktadır ki, Mezopotamyalılar, sadece geometride değil, ama, aynı zamanda, aritmetik, cebir, tıp ve astronomide de ek bir sözlü öğretime de geniş surette yer vermişlerdir. Yazılı metinler, ancak, işte bu sözlü temel eğitimin bir özü, bir derlenip toparlanmasıdır. Bu eğitim geleneği ‘dahiyane seziş’ (Gandz) gibi belgelendirilmesi zor olan bir açıklama kavramından daha uygun bir dayantıdır. Uzmanlarınca ancak layık olanlara yapılan ve olmayanlara yapılmayan bu sözlü eğitim ve öğretim geleneği Mısır’da, eski Yunan’da, daha sonra İslâmiyet’te de yer yer gözlenmektedir.

Mezopotamyalılar’ın geometrileri bir ‘analitik geometri’dir. Geometrik çözümler cebir yoluyla verilmektedir. Onların özel bir geometri kitapları yoktur; ama cebirle temellendirilmiş bir geometrileri vardır. Cebir, geometrik araç olarak kullanılmıştır.

10. Mezopotamyalılarda çember ve daire merkezi kavramları vardır. Onlara göre çember yarıçapları eşittir, çember içine çizilmiş bir ikizkenar üçgenin yüksekliği çemberin merkezinden geçer.

11. Mısırlılar’ın Seked’i gibi onların trigonometrik kotenjant fonksiyonuna benzer bir kavramları vardır. İşte Şag-gal veya ukullu budur. Susa tabletleri düzgün beşgen, altıgen ve yedigende dik açıdan bağımsız düşünüldüğünü göstermektedir.

12. Mezopotamyalılar, yamuğun alanı, silindirin, prizmanın, kürenin, koninin, piramidin hacimlerini bilmektedir. Π sayısını ise 3 olarak düşünmektedirler. Susa tabletlerinde bu değer 3,125’tir.

13. Geometri, ‘metrik’ (nicesel) münasebetlerin mi yoksa, ‘vaziyet’ler arasındaki münasebetlerin mi bilgisidir? Eğer  geometri, vaziyetlerin münasebetleri hakkında bilgi ise, Mezopotamyalılar ‘açıların eşitliği’, ‘üçgenlerin benzerliği’, ‘dairenin merkez açıları ve çevre açıları arasındaki ilişkiyi’, ‘üçgenin iç açıları toplamının iki dik açıya eşit olduğunu’, ‘yüksekliklerin, açı ortaylarının ve kenar ortaylarının üçer üçer aynı noktada kesiştiklerini’ biliyorlar (Labat).

14. İkizkenar üçgende, tepe açısından tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya böler. İkizkenar üçgende, tabanın ortasından çıkan dikme tepe noktasından geçer.

15. Heron’un Metrikası’ndaki düzgün altıgen ve yedigenin değerleri Mezopotamya’dan gelmektedir. Kesik piramidin hacmini bilen Heron, bu bilgiyi ve ‘Bölme-ekleme metodu’nu Mezopotamya’dan almıştır.

Bu bilgi ve bu yöntem Mezopotamya’dan başka Mısır’da, eski Yunan’da, Hint’te, Çin’de, İslâm aleminde ve Avrupa’da da tanınmıştır.

Acaba, Mezopotamya’nın cebir ve geometri alanındaki çalışmaları Sumerlilere kadar geri gitmekte midir? Neugebauer’e göre matematikte âni inkişaflar olabilir; matematik terimlerin Sumerce olmasının bir özel önemi yoktur. Ama Thureau-Dangin’e göre, ilmî terimlerin pek çoğunun Sumerce olması, Sumerce karşılıklarının bulunması, bunların Eski Babil çağı tabletlerinde sık sık kullanılması vakıası, cebir ve geometrinin Sumerlilere geri gittiğini gösterir.

Bu terimlerin hepsini Akadlılar’ın veya Eski Babil çağı matematikçilerinin uydurmaları, mümkün değildir.

Eski Babil çağında cebir maharetle ele alınmaktadır ki bir başlangıç safhasında olamaz; ancak bir gelişmenin sonucu olabilir. Sumerli Rönesansı ise, Eski Babil çağından biraz öncedir; ve Sumerce ilim dili olarak çok büyük bir rol oynamaktadır. Nitekim, Mezopotamya tıbbı ve astronomisi de Sumerlilere kadar geri gider. Onlarda yüksek seviyeden sözlü bir eğitim-öğretim vardır. Hükümlerin kesinleşmesi için elbette daha çok Sumerli matematik tablete ihtiyaç duyulmaktadır.

Sumerce olarak kaleme alınmış olan ve M.Ö.2000 yılına geri gittiği tahmin edilen Okul Günleri adlı bir kompozisyonun 61. satırına Landsberger’in verdiği manaya göre öğretmene öğrencinin babası tarafından şöyle söylenmektedir: ‘Matematik tabletlerinde, sayıda ve hesaplamadaki çözümleri, siz, ona (öğrenciye) açıklarsınız’ (Kramer yayını). Bu ifadeden Sumerliler’in Mezopotamya cebir ve geometrisinin kurucuları olduğunu görüyoruz.”

(Aydın Sayılı, Mısır ve Mezopotamyalılar’da Matematik, Astronomi ve Tıp)