Zamanda geriye doğru yolculuk yapmanın en kısa yolu tarih okumaktır

 

Sayfa2
Sayfa3

 

Algebra, cebir’den türedi!

“Mezopotamya matematiğinin çok gelişmiş bir dalı da cebirdir. Mezopotamyalılar cebirin kurucusu olarak kabul edilir. Cebirlerinin çok gelişmiş olması rakam sistemlerinin ileri durumda olmasına bağlanabilir.

Bazı araştırıcılara göre cebir kelimesi Mezopotamya menşelidir. Bu kelime 9. yüzyıl başlarında İslâm Dünyası’nda el-cebr ve’l-mukâbele şeklinde kullanılmış, Hârezmî’nin El-Kitâbü’l-Muhtasar fî Hesâbi’l-Cebr ve’l-Mukâbele adlı kitabının 12. yüzyılda Latince’ye çevrilmesiyle Avrupa’da bu kelime (el-cebr) öğrenilmiş ve bu matematik dalının adı olarak (algebra, algèbre) yerleşmiştir.

Birinci derece denklemlerinin çözümü Mezopotamyalılar için bir problem teşkil etmiyordu. Onların cebirde en çok üzerinde durdukları ve maharet sahibi oldukları konu ikinci derece denklemlerinin çözümleriydi. İkinciden yüksek dereceli denklemlerin ikinci dereceye indirgenebilenlerini çözümleyebiliyorlardı. Derecenin indirilmesi için yardımcı bilinmeyenler kullanmışlardır.

İkinci derece denklemleri dokuz grup halinde sınıflandırılmış ve her tip için ayrı çözüm formülleri verilmişti. Karşılaşılan problemlerin cebirsel ifadeleri önce bu belirli tiplere dönüştürülmekte, sonra belli çözüm formüllerine göre otomatik olarak çözüm bulunmaktaydı.

Tabletlerde sembol ve genel formüllerle karşılaşılmamakla birlikte çözümler daima belli tiplerin çözüm formüllerine göre elde edildiğinden, bu çözümlerde üstü kapalı biçimde genel çözüm ve formül fikrinin bulunduğu düşünülebilir.

Problemlerin pratik mahiyet taşımayıp daha çok öğrenciler için düzenlenmiş okul metinleri olduğu anlaşılmaktadır. Alan ve uzunluk toplamları ve işçi sayısı ile iş günleri sayısı toplamı gibi örnekler için, bu problemlerin pratik değer taşımalarının mümkün de olmadığı görülmektedir. Bu durum, Mezopotamya biliminin, özel olarak da matematiğinin sadece pratik ihtiyaçlara yönelik olduğu şeklindeki inançların gerçek durumu yansıtmadığını düşündürmektedir.

Mezopotamyalılar’ın dokuz tip halinde ele aldıkları ikinci derece denklemleri ve çözüm formülleri şöyledir:

Bu dokuz denklem tipi içinde en çok kullanılan temel denklem tipleri 1 ve 2. tiplerdir. Karşılaşılan denklemler genellikle bu iki tipe dönüştürülüp, ondan sonra çözüm formülleri uygulanarak adeta otomatik bir biçimde çözümleniyordu. 1.tipi tek bilinmeyenli denklem haline getirelim. X+y=b’den y=b-x bulunur.

Bu y değeri xy=c çarpımında yerine konursa, x(b-x)=c, bx-x2=c denklemi elde edilir. Eksi işareti kaldırılınca da x2+c=bx bulunur. Aynı tip y bilinmeyeni cinsinden tek bilinmeyenli denkleme dönüştürecek olursak, x=b-y olduğundan, y(b-y)=c, buradan da by-y2=c ve y2+c=by denklemi bulunur.

Bu denklem, daha önce bulunan x2+c=bx denkleminin aynıdır. Yani, x+y=b, xy=c denklem sisteminde x ve y için aynı denklemler elde edilmektedir. Bunlar ise 9. tipe tekabül etmektedir.

Şimdi de 2.tipi tek bilinmeyenli denklem haline getirirsek, x-y=b'den y=x-b bulunur, xy=c çarpımında bu y değeri yerine konursa x(x-b)=c'den x2-bx=c ve buradan x2=bx+c denklemi bulunur. Bu denklem ise dokuz tipin 8.incisine tekabül etmektedir.

x-y=b, xy=c denklem çiftinin oluşturduğu aynı 2.tip y cinsinden ifade edilmek istenirse, x-y=b’den x=b+y ve y(y+b)=c’den y2+by=c denklemi elde edilir. Bu ise 7.tiptir.

Görüldüğü gibi 1. ve 2.denklem tipleri 7, 8 ve 9.tiplere dönüşmektedir. 3. ve 4. tipler katsayı veya sabit terim farkı ile yine 7, 8 ve 9. tip denklemlere eşdeğerdir.

5. ve 6. tipler ise, tek bilinmeyenli denklem haline dönüştürüldüklerinde birinci dereceden denklemlere indirgenirler. Şu halde 7, 8 ve 9.tiplerin bütün diğer tipleri kapsadığı sonucuna varılabilir.

Bu üç tip denklemde ise, yani 7, 8 ve 9.tiplerle 9. yüzyıl başlarında İslam Dünyası’nın önde gelen matematikçileri Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî’de karşılaşılmaktadır. İslam Dünyası’nda da problem denklemleri önce bu tiplere dönüştürülmekte ve bundan sonra çözümleri tam kareye tamamlama metoduyla bulunmaktaydı.

Mezopotamyalılar’da ise tam kareye tamamlama metodu pek kullanılmıyor ve iki bilinmeyenli denklem sistemi tek denkleme dönüştürülmüyordu. Abdülhamid ibn Trük ve Harezmî denklem çözümlerini geometrik yoldan yaptıkları halde, Mezopotamyalılar bu çözümleri genellikle analitik yoldan yapıyorlardı. Kurt Vogel, Thureau-Dangin ve Gandz’a göre Mezopotamyalılar’ın bu çözüm metotları Roma Çağı Yunan cebircisi Diofantos’un çözüm metotlarına benzemektedir. Şu halde Diofantos’daki şekliyle Yunan cebirinin büyük ölçüde Mezopotamya cebirinin hemen hemen doğrudan doğruya bir devamı olduğu; Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî’nin temsil ettiği İslam Dünyası cebirinin ise Mezopotamya cebirine çok yakın olmasına rağmen, geometrik düşüncelerle temellendirilmiş olduğundan ondan farklı olup, tadil edilmiş bir şekildeki devamı olduğu neticesine varılabilir.

Tam kareye tamamlama metodu Hârezmî vasıtasıyla Avrupa’ya geçmiştir. Ancak Hârezmî özel çözüm formüllerini aynen Mezopotamya cebirindeki şekilleriyle Avrupa’ya nakletmiştir. Yani Mezopotamya cebiri hem Hârezmî cebirinin temelinde bulunur, hem de onun vasıtasıyla Avrupa’yı etkilemiştir. Diofantos da Avrupa üzerinde büyük etki yapmış bir matematikçidir. Şu halde Mezopotamya cebiri büyük ölçüde Avrupa’yı etkilemiştir.

Mezopotamya cebirindeki ikinci derece denklem tipleri geometrik olarak yorumlanacak olursa, ilk altı tip için asıl olan geometrik kavramın kare olmayıp dikdörtgen olduğu söylenebilir. Çünkü denklemlerde esas olan x2 değil x ve y’dir. İlk altı tip denklem sistemi dikdörtgenlerle ilgilidir. Bir dikdörtgende iki kenar ve alandan ibaret üç nicelikten herhangi ikisi bilinince, bu bilinenler aracılığıyla üçüncü niceliğin değerini bir birinci derece denklemi yardımıyla bulmak mümkündür.

Bu üç nicelik arasındaki daha kompleks bağlantılar durumunda ikinci derece denklemleriyle çözülebilecek problemler elde edilir. Mezopotamya cebirindeki bu denklem tipleri bu tür problemler olarak düşünülebilir.

Sayfa 2